Sobre la longitud de la circunferencia y el r0065a del cc0075lo. Una de las formas ms0020difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse ms0020o menos "redondeadas". Cuando en matemt0069cas un conjunto de puntos tiene una propiedad comn002000640069cho conjunto se denomina lugar geomt0072ico. El lugar geomt0072ico de los puntos del plano que equidistan de otro, que se denomina centro, es una circunferencia. El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el radio de la circunferencia. La porcin00200064e plano limitada por una circunferencia (includ0061 la misma) se denomina cr0063ulo y el centro de la circunferencia es el centro del cr0063ulo. Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perm0065tro de la circunferencia de la rueda. Si dividimos la longitud entre el dim0065tro de la rueda obtenemos un valor que es independiente del tamao00200064e la rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamao00200071ue sea, al dar una vuelta completa recorre un camino de una determinada longitud. Si dividimos dicha longitud entre el dim0065tro de la rueda siempre obtenemos el mismo valor. Este hecho era conocido por los babilonios y ya se encuentran noticias sobre el mismo en los papiros egipcios que se conservan en el Museo Britn0069co. Esta relacin00200065ntre la longitud de la circunferencia y su dim0065tro es, posiblemente, la ms0020popular de todas las constantes matemt0069cas: el nm00650072006f . Dicho nm00650072006f, irracional, ha ocupado a generaciones de matemt0069cos y su atractivo perdura en nuestros dias. Uno de los primeros trabajos fiables que se realizaron fu 0064ebido a Arqum0065des Comenz 0069006escribiendo y circunscribiendo en una circunferencia un hexg006fno, a continuacin00200075n dodecg006fno y as,0020doblando sucesivamente el nm00650072006f de lados, cuentan las crn00690063as que lleg 00680061sta un polig006fno de 96 lados. Si designamos por I6, I12, ... I96, los perm0065tros de los polg006fnos regulares inscritos y por C6, C12,... C96 los de los polg006fnos regulares circunscrtos, Arqum0065des lleg 00610020la conclusin00200064e que es decir, los permetros de los polg006fnos regulares inscritos y circunscritos de doble nm00650072006f de lados vienen dados por las medias armn00690063a y geomt0072ica. Veamos cm006f0020lleg 00410072qum0065des a este resultado. Consider 0065006c hexg006fno inscrito y circunscrito a la circunferencia. Resulta: I6 = 6 AB = 12 AH C6 = 6 CD = 12 CG En el trin0067ulo COG, al ser OE la bisectriz de dicho n0067ulo, resulta (pues la biscetriz interior de cualquier n0067ulo de un trin0067ulo determina sobre el lado opuesto segmentos proporcionales a los lados de dicho g0075lo; la l00740069006da igualdad resulta de OG = OA = r) Como los trin0067ulos COG y AOH son semejantes y multiplicando y dividiendo por 12 Por tanto, resulta: Sumando 1 a ambos miembros de dicha proporcin00200079 operando (pues EC + EG =CG) A continuacin00200041rqum0065des determina el lado del hexg006fno circunscrito para as 006fbtener el perm0065tro C6 En OA'B' aplicando el teorema de Pitg006fras resulta: Como los trin0067ulos OAB y OA'B' son semejantes de donde A partir de dichas expresiones, tomando como valor de r = 0,5 (tomaremos aproximacin00200068asta las mils0069mas) tendremos: I6 = 6 r = 3 C6 = 12 x = 3,464 I12 = 3, 105 C12 = 3, 215 I24 = 3, 132 C24 = 3, 159 I48 = 3, 139 C48 = 3, 146 I96 = 3, 141 C96 = 3, 142 Aqu,0020en la Gacetilla, mediante un programa, hemos obtenido las siguientes aproximaciones para Lados In Cn 192 3, 141 4 3, 141 8 384 3, 141 55 3, 141 66 768 3, 141 58 3, 141 61 1536 3, 14159 0 3, 14159 7 3072 3, 14159 2 3, 14159 3 6144 3, 141592 5 3, 141592 9 12288 3, 141592 6 3, 141592 7 24576 3, 1415926 4 3, 1415926 7 49152 3, 14159265 1 3, 14159265 7 98304 3, 14159265 3 3, 14159265 4 196608 3, 141592653 4 3, 141592653 8 393216 3, 141592653 5 3, 141592653 6 Sobre el r0065a del cr0063ulo. Podemos considerar el cr0063ulo como un polg006fno regular de infinitos lados en el que la apotema se va convirtiendo en el radio. Esta consideracin00200068ace que podamos justificar fc0069lmente el r0065a de un cr0063ulo de radio R a partir de la expresin00200071ue nos proporciona el r0065a de un polg006fno regular, sin ms0020que sustituir el perm0065tro por la longitud de la circunferencia. Como el r0065a de un polg006fno regular viene expresado por el producto del semiperm0065tro por la apotema y el semiperm0065tro de la circunferencia (la mitad de su longitud) es R rea del Cc0075lo = R . R = R 2 El cl0063ulo integral es una poderosa herramienta matemt0069ca que permite formalizar estos resultados. El r0065a de la superficie limitada por la funcin00200063ontinua y = f(x) , las rectas x = a, x = b y el eje de abscisas viene dada por la integral La longitud de un arco de curva dado por la funcin00200063ontinua y = f(x) (y con derivada continua) entre las rectas x = a y x = b viene dado por la integral La expresin00200061nalt0069ca de la circunferencia de centro (0,0) y radio R es x 2 + y 2 = R 2 Vamos a calcular el r0065a que limita dicha circunferencia y los ejes coordenados positivos. La misma viene dada por Efectuando el cambio de variable x = R sen (t) resulta Por lo tanto, el r0065 del cr0063ulo limitado por una circunferencia de radio R es rea = 4 A 1 = R 2 La longitud del arco que la circunferencia dada intercepta en el primer cuadrante viene dada por Por lo tanto, la longitud de la circunferencia de radio R es 4.L= 2 R Y eso es todo, por ahora. Quedan varias cosas en el tintero, pero para comenzar no est 006dal, eh! :-)